滾球法計算避雷針保護范圍
滾球法”是一種計算接閃器保護范圍的方法。它的計算原理為以某一規(guī)定半徑的球體，在裝有接閃器的建筑物上滾過，滾球體由于受建筑物上所安裝的接閃器的阻擋而無法觸及某些范圍，把這些范圍認(rèn)為是接閃器的保護范圍。這就是滾球法。
“滾球法”是國際電工委員會（IEC）推薦的接閃器保護范圍計算方法之一；我國目前正在實施的建筑防雷規(guī)范GB50057-94也采納了“滾球法”。
由立體幾何的知識即可進行“滾球法”的計算。借助某些軟件在計算機上可以使計算的過程及計算結(jié)果的表述變得更加簡易。在本行業(yè)內(nèi)大多數(shù)學(xué)者們的專著及文章中都對滾球法的計算機輔助計算有詳細(xì)具體的說明。這里就不再復(fù)述。
下面介紹本公司在實際工程中是如何運用滾球法的：
由于使用避雷針做為接閃器時得到的保護范圍，一般具有較好的軸對稱性；而使用避雷帶等其它接閃器時所得到的保護范圍一般沒有軸對稱性，并且較為復(fù)雜，因此本文中只討論以避雷針做為接閃器的情況。
首先規(guī)定以下幾個條件：
1、 滾球半徑為R（根據(jù)GB50057-94可選30、45、60m）。
2、 地面無論坡度θ多大均為絕對平面。
3、 避雷針高度H指針尖豎直至地面的距離，針尖以下部分均視為接閃器。針桿均為豎直安裝，即避雷針與豎直軸重合。
一、 常規(guī)單針
（θ=0， H=R）
這種情況的保護范圍沿豎直軸具有完全軸對稱性，任選一個通過豎直軸的軸線剖面如下圖
滾球球心的運動軌跡為：
L(直線)+A(圓弧)+L(直線)
注：A=π
一個半徑為R的球沿θ=0的地面滾動，當(dāng)它遇到高度H=R的避雷針時被阻礙，讓它翻過針尖繼續(xù)向前滾。滾球離開避雷針后我們即可看到滾球無法觸及的范圍就是滾球外圓運動軌跡的內(nèi)包絡(luò)線與地面間的范圍。這就是該剖面上的保護范圍。由于保護范圍沿豎直軸具有完全軸對稱性，令該包絡(luò)線沿豎直軸旋轉(zhuǎn)得到的實體就是實際空間的保護范圍。如果被保護的建筑物完全在該實體的范圍內(nèi)，則我們認(rèn)為這樣的保護是有效的。
二、常規(guī)單針
（θ=0， 0<H<R）
這種情況的保護范圍沿豎直軸具有完全軸對稱性，任選一個通過豎直軸的軸線剖面如下圖滾球球心的運動軌跡為：
L(直線)+A(圓弧)+L(直線)
注：0<A<π
一個半徑為R的球沿θ=0的地面滾動，當(dāng)它遇到高度0<H<R的避雷針時被阻礙，讓它翻過針尖繼續(xù)向前滾。滾球離開避雷針后我們即可看到滾球無法觸及的范圍就是滾球外圓運動軌跡的內(nèi)包絡(luò)線與地面間的范圍。這就是該剖面上的保護范圍。由于保護范圍沿豎直軸具有完全軸對稱性，令該包絡(luò)線沿豎直軸旋轉(zhuǎn)得到的實體就是實際空間的保護范圍。如果被保護的建筑物完全在該實體的范圍內(nèi)，則我們認(rèn)為這樣的保護是有效的。
三、常規(guī)單針
（θ=0， H>R）
這種情況的保護范圍沿豎直軸具有完全軸對稱性，任選一個通過豎直軸的軸線剖面如下圖
滾球球心的運動軌跡為：
L(直線)+ L(直線)+A(圓弧)+ L(直線)+L(直線)
注：A=π
一個半徑為R的球沿θ=0的地面滾動，當(dāng)它遇到高度H>R的避雷針時被阻礙，讓它翻過針尖繼續(xù)
向前滾。滾球離開避雷針后我們即可看到滾球無法觸及的范圍就是滾球外圓運動軌跡的內(nèi)包絡(luò)線與地面
間的范圍。這就是該剖面上的保護范圍。由于保護范圍沿豎直軸具有軸對稱性，令該包絡(luò)線沿豎直軸旋
轉(zhuǎn)得到的實體就是實際空間的保護范圍。如果被保護的建筑物完全在該實體的范圍內(nèi)，則我們認(rèn)為這樣
的保護是有效的。
總結(jié)上述三種情況（一，二，三）。
它們的保護范圍都沿豎直軸具有軸對稱性，并且避雷針與豎直軸均重合，如果在不同高度上對保護范圍取水平截面時即可得到保護范圍的輪廓線，它們是以避雷針為圓心的一系列同心圓。
當(dāng)保護范圍確定后，這些同心圓的半徑與水平截面的高度是一一對應(yīng)的。即
r = f ( h ) ，h∈[0,H] （1）
式中： r ---- 同心圓的半徑（保護半徑）
h ---- 水平截面高度
一般情況下，我們將 r 稱為保護半徑。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f法應(yīng)該是某高度上的保護半徑。如“高度為5m時保護半徑為20m 。”
保護半徑可以定義為：在某一高度的水平面上，從避雷針到保護范圍邊界的距離。
而當(dāng)在具體工程應(yīng)用中需要描述避雷針的保護范圍時僅給出一個保護半徑是不夠的！
請看下面三種方法：
1、 公式法
方法：給出保護半徑的表達(dá)式（1）。
優(yōu)點：描述完整，精確。
缺點：計算復(fù)雜，不夠直觀。
常用于：編寫教材及發(fā)表論文。
2、 列r-h表
方法：對高度h以一定的步長取值，帶入保護半徑的表達(dá)式（1）求出r列表即可。
優(yōu)點：兼顧精確性及直觀性。
缺點：計算復(fù)雜，不夠完整。
常用于：編制產(chǎn)品手冊。
3、 校核危險剖面
方法：根據(jù)經(jīng)驗找出最有可能超出保護范圍的幾個危險點，然后做出通過這些危險點的軸線剖面進行校核即可。
優(yōu)點：計算簡單，精確。
缺點：缺乏完整性及直觀性。
常用于：具體工程計算。
在一，二，三中，以上3種方法均適用，差別不大。
四、常規(guī)單針
（ 0<θ<π/2， H=R·tg[(π-2θ)/4] ）
這種情況的保護范圍沿豎直軸具有面對稱性，沿垂直軸具有軸對稱性，選取通過豎直軸及垂直軸的軸線剖面如下圖
滾球球心的運動軌跡為：
L(直線)+A(圓弧)+L(直線)
注： A＝π－2θ
一個半徑為R的球沿坡度為θ的地面滾動，當(dāng)它遇到高度H=R·tg[(π-2θ)/4] 的避雷針時被阻礙，讓它翻過針尖繼續(xù)向前滾。滾球離開避雷針后我們即可看到滾球無法觸及的范圍就是滾球外圓運動軌跡的內(nèi)包絡(luò)線與地面間的范圍。這就是該剖面上的保護范圍。由于保護范圍沿垂直軸具有軸對稱性，令該包絡(luò)線沿垂直軸旋轉(zhuǎn)得到的實體就是實際空間的保護范圍。如果被保護的建筑物完全在該實體的范圍內(nèi)，則我們認(rèn)為這樣的保護是有效的。
五、常規(guī)單針
（ 0<θ<π/2， H=R·ctg[(π-2θ)/4] ）
這種情況的保護范圍沿豎直軸具有面對稱性，沿垂直軸具有面對稱性，選取通過豎直軸及垂直軸的軸線剖面如下圖
滾球球心的運動軌跡為：
L(直線)+ L(直線)+A(圓弧)+L(直線)
注： A＝π
一個半徑為R的球沿坡度為θ的地面滾動，當(dāng)它遇到高度H=R·ctg[(π-2θ)/4] 的避雷針時被阻礙，讓它翻過針尖繼續(xù)向前滾。滾球離開避雷針后我們即可看到滾球無法觸及的范圍就是滾球外圓運動軌跡的內(nèi)包絡(luò)線與地面間的范圍。這就是該剖面上的保護范圍。由于保護范圍不具有軸對稱性，所以不能采用令包絡(luò)線旋轉(zhuǎn)的方式得到實際空間的保護范圍。我們可以通過豎直軸做不同的剖面得到不同的內(nèi)包絡(luò)線，這些內(nèi)包絡(luò)線的集合與地面形成的空間實體就是保護范圍。如果被保護的建筑物完全在該實體的范圍內(nèi)，則我們認(rèn)為這樣的保護是有效的。
六、常規(guī)單針
（ 0<θ<π/2， 0<H<R·tg[(π-2θ)/4] ）
這種情況的保護范圍沿豎直軸具有面對稱性，沿垂直軸具有軸對稱性，選取通過豎直軸及垂直
軸的軸線剖面如下圖
滾球球心的運動軌跡為：
L(直線)+A(圓弧)+L(直線)
注： 0<A<π－2θ
一個半徑為R的球沿坡度為θ的地面滾動，當(dāng)它遇到高度0<H<R·tg[(π-2θ)/4] 的避雷針時被
阻礙，讓它翻過針尖繼續(xù)向前滾。滾球離開避雷針后我們即可看到滾球無法觸及的范圍就是滾球外圓運動軌跡的內(nèi)包絡(luò)線與地面間的范圍。這就是該剖面上的保護范圍。由于保護范圍沿垂直軸具有軸對稱性，令該包絡(luò)線沿垂直軸旋轉(zhuǎn)得到的實體就是實際空間的保護范圍。如果被保護的建筑物完全在該實體的范圍內(nèi)，則我們認(rèn)為這樣的保護是有效的。
七、常規(guī)單針
（ 0<θ<π/2， R·tg[(π-2θ)/4] <H<R·ctg[(π-2θ)/4] ）
這種情況的保護范圍沿豎直軸具有面對稱性，沿垂直軸具有面對稱性，選取通過豎直軸及垂直軸的軸線剖面如下圖
滾球球心的運動軌跡為：
L(直線)+ L(直線)+A(圓弧)+L(直線)
注：π－2θ<A<π
一個半徑為R的球沿坡度為θ的地面滾動，當(dāng)它遇到高度R·tg[(π-2θ)/4] <H<R·ctg[(π-2θ)/4] 的避雷針時被阻礙，讓它翻過針尖繼續(xù)向前滾。滾球離開避雷針后我們即可看到滾球無法觸及的范圍就是滾球外圓運動軌跡的內(nèi)包絡(luò)線與地面間的范圍。這就是該剖面上的保護范圍。由于保護范圍不具有軸對稱性，所以不能采用令包絡(luò)線旋轉(zhuǎn)的方式得到實際空間的保護范圍。我們可以通過豎直軸做不同的剖面得到不同的內(nèi)包絡(luò)線，這些內(nèi)包絡(luò)線的集合與地面形成的空間實體就是保護范圍。如果被保護的建筑物完全在該實體的范圍內(nèi)，則我們認(rèn)為這樣的保護是有效的。
八、常規(guī)單針
（ 0<θ<π/2， H>R·ctg[(π-2θ)/4] ）
這種情況的保護范圍沿豎直軸具有面對稱性，沿垂直軸具有面對稱性，選取通過豎直軸及垂直軸的軸線剖面如下圖
滾球球心的運動軌跡為：
L(直線)+ L(直線)+A(圓弧)+ L(直線)+L(直線)
注： A＝π
一個半徑為R的球沿坡度為θ的地面滾動，當(dāng)它遇到高度H>R·ctg[(π-2θ)/4] 的避雷針時被阻礙，讓它翻過針尖繼續(xù)向前滾。滾球離開避雷針后我們即可看到滾球無法觸及的范圍就是滾球外圓運動軌跡的內(nèi)包絡(luò)線與地面間的范圍。這就是該剖面上的保護范圍。由于保護范圍不具有軸對稱性，所以不能采用令包絡(luò)線旋轉(zhuǎn)的方式得到實際空間的保護范圍。我們可以通過豎直軸做不同的剖面得到不同的內(nèi)包絡(luò)線，這些內(nèi)包絡(luò)線的集合與地面形成的空間實體就是保護范圍。如果被保護的建筑物完全在該實體的范圍內(nèi)，則我們認(rèn)為這樣的保護是有效的。
總結(jié)上述五種情況（四，五，六，七，八）。
它們的保護范圍都具有面對稱性，該對稱面由豎直軸及垂直軸確定。其中四，六的保護范圍具有軸對稱性，對稱軸為垂直軸。如果在不同高度上對保護范圍取水平截面時即可得到保護范圍的輪廓線，但是線型較復(fù)雜。
為了便于分析，引入柱坐標(biāo)系{r，β，h}。以避雷針為h軸，針桿與地面的交點為0點。
則保護半徑的表達(dá)式為
r = f (β，h ) ，β∈[0,2π]，h∈[-R,H+R] （2）
式中： r ---- 保護半徑
β ---- 方向
h ---- 水平截面高度
從（2）式中可看出，保護半徑由高度及方向兩個因素決定。此時的說法應(yīng)該改為某高度上某方向的保護半徑。如“高度為5m時，東偏南30?的保護半徑為20m 。”
而此時在具體工程應(yīng)用中需要描述避雷針的保護范圍時僅給出一個保護半徑是遠(yuǎn)不夠的！
請看下面四種方法：
1、公式法
方法：給出保護半徑的表達(dá)式（2）。
優(yōu)點：描述完整，精確。
缺點：計算較復(fù)雜，不夠直觀。
2、列r-β, h表
方法：對方向β,高度h以一定的步長取值，帶入保護半徑的表達(dá)式（2）求出r列表即可。
優(yōu)點：描述精確。
缺點：計算較復(fù)雜，不夠完整，不夠直觀。
3、校核危險剖面
方法：根據(jù)經(jīng)驗找出最有可能超出保護范圍的幾個危險點，然后做出通過這些危險點的軸線剖面進行校核即可。
優(yōu)點：計算簡單，精確。
缺點：缺乏完整性及直觀性。
4、計算機輔助設(shè)計
方法：使用三維繪圖軟件顯示計算結(jié)果。
優(yōu)點：非常完整，精確，直觀。
缺點：計算較復(fù)雜。
在四，五，六，七，八中，第1，2，4種方法存在計算較復(fù)雜的問題，都要上機編程計算。我們認(rèn)為第3種方法較適用。
總結(jié)上述八種情況（一～八）。
對坡度θ有變化的地形，或者安裝一只以上的避雷針時，可以用以上八種情況組合而成進行分析，此時保護半徑的表達(dá)式會相當(dāng)復(fù)雜。當(dāng)使用我們推薦的第3種方法時，雖然需要一定的經(jīng)驗，但是計算過程將變得簡單。
通用的滾球法計算步驟
一、 適用范圍說明
1、 任意形式的常規(guī)接閃器，包括避雷針，避雷帶，避雷線，避雷網(wǎng)。
2、 接閃器的安裝數(shù)量不受限制。
3、 地形起伏不受限制。
4、 除保護對象外，其他建筑物均視為大地。
二、 計算準(zhǔn)備
1、 選用空間三維直角坐標(biāo)系｛X,Y,Z｝。X－Y平面為水平面，Z軸為豎直軸。
2、確定地形邊界。被保護對象在X－Y平面上投影的外廓沿法線方向外移2R（滾球直徑）即可得到地形邊界的最小范圍。將地形邊界內(nèi)的大地表面數(shù)字化，可得到一個面的集合，定義為集合A(2,0)。
集合名稱注解：
a、英文字母是集合的名稱。
b、括號中的第一位數(shù)字表示集合中的元素所形成的空間結(jié)構(gòu)特性。1表示線結(jié)構(gòu)，2表示面結(jié)構(gòu)，3表示實體結(jié)構(gòu)。
c、括號中的第二位數(shù)字每增加1就表示原集合中的元素經(jīng)過1次運算又得到了一個新的集合。
3、將被保護對象數(shù)字化，可得到一個實體的集合，定義為集合B(3,0)。
4、將所設(shè)計的接閃器數(shù)字化，可得到一個線的集合，定義為集合C(1,0)。
三、 計算
1、 優(yōu)化大地表面。將A(2,0)通過優(yōu)化計算得到A(2,1)。要求A(2,1)中任意一點的曲面半徑均不小于滾球半徑R。
2、 將A(2,1)沿法線方向向上移動，距離為R，得到新的集合A(2,2)。
3、 定義A(2,0) 與A(2,2)之間的空間為A(3,3)。
4、 將C(1,0)沿法線方向向外擴大，距離為R，得到新的集合C(3,1)。
5、 定義A(3,3) 與C(3,1)的并集為D(3,0)。
6、 定義D(3,0) 的上表面為D(2,1)。
7、 將D(2,1)沿法線方向向下移動，距離為R，得到新的集合D(2,2)。
8、 定義A(2,1) 與D(2,2)之間的空間為E(3,0)。E(3,0)就是接閃器的保護范圍空間。
9、 定義A(2,0) 與A(2,1)之間的空間為F(3,0)。F(3,0)是自然保護范圍空間。意思是不安裝接閃器該空間也受保護。
10、 定義E(3,0) 與F(3,0)的并集為G(3,0)。G(3,0)就是總的保護范圍空間。
11、 令H(3,0)=B(3,0)-B(3,0)∩G(3,0)。H(3,0)就是被保護對象上不在保護范圍內(nèi)的空間。如果H(3,0)為空集，則表示被保護對象在接閃器的保護范圍內(nèi)。
滾球法計算避雷針保護范圍